有需要認識根號 2 這類的無理數嗎？

這陣子找了一下過去發表過的東西，看到一則在「深度論壇」裡討論過的議題，主題是『[Essay] 五年級的悔恨』，這是由 Tomm 發起的，主要是他轉貼了王文華在聯合報所發表的文章，文章的題目就是『五年級的悔恨』，目的是要與網友分享這篇文章，不料引起一連串熱烈的、正反兩面的討論。直到今天回顧這些討論，也是覺得津津有味，然而仍舊有意猶未盡之憾。之所以有這樣的感覺，主要是其中有些細節討論得不夠充分，或是以當時的情境無法多談，甚至忽略掉的，而今天卻覺得有必要說說，因此才有這種遺憾。為了不使「遺珠棄璧，識者興嘆」，所以就找一些問題，在這邊談談。

這一連串的討論裡，有位成員提到王文華之所以有遺憾，就是「譬如說，試證明根號 2 是無理數，who cares，難道會有股價是根號 2 的股票嗎？讓所有年輕人浪費他們最寶貴的時間在這以後用不到的知識上，而忽略人生中最重要的東西」這類原因。所以今天我就談談這個問題，我們究竟有沒有需要認識根號 2 這種無理數？

近代數學源於希臘，這是由於近代數學和希臘的邏輯形式學緊密的結合在一起。而古希臘發展數學早期，出現了三個很著名的幾何難題，這也是後世所稱的「古希臘三大名題」，這三個難題分別是：

1. 化圓為方問題：畫出與圓面積相等的正方形。


2. 三等分角問題：把一個角分成三等分。


3. 立方倍積問題：以相同的形狀使體積增加兩倍(也稱之為提洛斯問題)。

(有興趣者可參考維基百科)

我們把注意力集中在第三個問題上面，這裡面有個故事，據說，西元前 429 年，一場瘟疫襲擊雅典，死了大約四分之一的人口，愛琴海提洛斯島(Delos)一天都有多達幾十個人病死，所有的人都束手無策。於是，人民就推舉一些代表，到阿波羅神殿請示神。阿波羅指示說：「要把神殿祭壇的體積，以同樣的形狀增加為兩倍，傳染病就會停止。」人們便把邊長加大一倍，結果體積當然就變成了八倍，瘟疫當然繼續蔓延。於是提洛斯島民就去請教幾何學家，究竟邊長應該要增加幾倍，體積才能變成兩倍？結果找到的答案是，要把祭壇的體積增大一倍，祭壇的邊長就要增加成原來的二的立方根()倍，也就是作圖時要算出二的立方根。可是希臘人作圖的方式，只能運用直尺和圓規來畫圖，也就是說，這個立方倍積問題，等於是要用直尺和圓規作一已知線段的二立方根倍長。

幾何學家受島民的委託，無論怎麼作圖，始終無法找出解決的方法(即是無解)。就算是經過幾百年，幾千年的今天，這個問題仍舊沒有結果。十九世紀所謂解決了這個問題，只不過是證明古希臘三大名題等等問題，如果單純使用尺規作圖，永遠都不可能解決。一般人都會認為，只要提出問題之後，就必須求得答案。然而古希臘的三道難題，著實一掌打醒了許多夢中人，告訴我們有問題就有解的想法是有問題的。很可惜的是，當今學校的教育從來不會明確的告訴我們，有些方程式是無解的，也就是說，有些問題是無解的。

另外一個問題，是「解」到底存不存在的問題。談到這個議題，我就必須談到高斯(Carl Friedrich Gauss，德國的數學家、物理學家)了，因為他發現了一個偉大的定理，也就是「n 次方程式一定有解」，這對歷史上的大問題提供了終極的解答，也就是我們所謂的「存在的問題」。高斯證明 n 次方程式有 n 個解，在高斯的年代，此「高斯定理」(代數基本定理)無疑是項創舉，而且是劃時代的。當他提出這項定理時，最擔心的事，竟然是怕大學的教授們是否能真的了解，因為在當時，一些數學權威人士，也只知道實數的存在。然而要證明此定理的二次方程式，一定要運用到複數(也就是實數和虛數的結合)，可是，他的論文一定要給教授們了解才行，否則就無法當做博士論文。於是，當時他所提出的論文就只限定在實數的範圍內。但是，我們一定要從複數的角度去看高斯的論文，才能理解高斯定理的價值。高斯定理中，每解一次方程式，就可能要擴大數字的範圍。例如，要解開一次方程式，不能沒有負數和分數。

例如：

得出 。

而要解開二次方程式，除了負數和分數之外，也要用到無理數和複數。

例如：

(1) 得出 和 。

(2) 得出 。

雖然直到 1825 年，數學家阿貝爾(Niels Henrik Abel)總算解開了五次方程式，而且今天我們還知道，要解開五次方以上的程式，是不能使用代數的方法。然而在高斯的時代，人們既不知道五次方程式的解法，更不清楚是不是可以解得開，但是高斯卻證明了有解的存在。「存不存在」是人生的重要議題，唯能確定某項東西或目標存在，那麼所有的行為或行動才具有意義。就神學來說，「神是否真的存在」就是最大的問題。如果神真的存在，那麼對神的信仰，以及對此所有針鋒相對的辯論，才是值得的；否則，無論神學如何發展，如何展開激烈的辯論，也沒有什麼意義。數學所衍生的「存在問題」，其重要性還跨越了數學本身。

其次，高斯定理又告訴我們另外一個真諦，那就是即便知道有解的存在，也有解不出的方程式。這種明明知道有解，卻怎樣也無法解開，也相當符合人生裡經常碰到的問題，就像是「戀愛方程式」、「幸福方程式」、「成功方程式」、... 等。

因此，了解 或證明它為無理數，是否就是浪費年輕人的寶貴時間呢？是否因此就會忽略掉人生最重要的東西呢？答案很明顯是否定的。從上面的敘述，我們看到了無理數不僅和人命相關，還跟生存有關。至於，提洛斯島民最後的命運如何？其實，上述故事的結局還蠻有意思的，不知道是阿波羅覺得近似值就可以了，還是默許雅典人用有刻度的尺，反正傳染病是停止了。